LOGIKA
MATEMATIKA
Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan
pelajaran-pelajaran lainnya. Dalam Logika dipelajari
metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara
berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu
menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu
logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari
penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
PERNYATAAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai
kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.
Istilah-istilah lain
dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat
deklaratif, statement atau proposisi.
PERNYATAAN TUNGGAL DAN
MAJEMUK
Pernyataan tunggal atau
pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau
sebagai bagiannya.
Pernyataan majemuk
adalah pernyataan yang memuat dua atau lebih pernyataan, pernyataan tersebut
merupakan bagian dari pernyataan majemuk atau komponen pernyataan majemuk.
Untuk menggabungkan
pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata
gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-
operasi logika matematika.
Contoh:
1. 2 adalah bilangan prima yang
genap (pernyataan tunggal)
2. Jakarta
3.
Merah putih adalah bendera negara RI (pernyataan
tunggal)
4. Hari ini hujan dan Susi ke
sekolah (pernyataan majemuk)
5.
Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu
genap (pernyataan majemuk)
Soal:
Buatlah 5 contoh
pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai
kebenarannya!
OPERASI LOGIKA
Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah
1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “
~ “
2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “
3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “
4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “
5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “
1. Operasi Negasi
Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah
pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “
Jika p adalah pernyataan
tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.
Negasi dari suatu
pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan
yang bernilai salah adalah benar.
Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang
berlawanan
Contoh:
p
: Jakarta ibukota negara Republik Indonesia
~ p : Jakarta
bukan ibukota negara Republik Indonesia
2. Operasi Konjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “
Sebuah konjungsi bernilai benar jika
komponen-komponennya bernilai
benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah
contoh:
Jakarta ibukota Indonesia dan Kuala lumpur ibukota Malaysia
contoh:
Jakarta ibukota Indonesia dan Kuala lumpur ibukota Malaysia
3. Operasi Disjungsi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú “
Sebuah disjungsi inklusif bernilai
benar jika paling sedikit salah satu
komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar
jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.
contoh:
Jakarta ibukota Indonesia atau Kuala lumpur ibukota Malaysia
4. Operasi Implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ Þ “
Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan
konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.
contoh:
Jika Jakarta ibukota Indonesia maka Kuala lumpur ibukota Malaysia
5. Operasi Bi-implikasi
Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut
biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ Û “
Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya
mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.
contoh:
Jakarta ibukota Indonesia jika dan hanya jika Kuala lumpur ibukota Malaysia
contoh:
Jakarta ibukota Indonesia jika dan hanya jika Kuala lumpur ibukota Malaysia
TABEL KEBENARAN
Soal:
Tuliskan pernyataan majemuk berikut ini dengan lambang:
Tuliskan pernyataan majemuk berikut ini dengan lambang:
1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati tidak berwarna putih
2. Ani dan Ana anak kembar
3. Cuaca hari ini tidak mendung atau cerah
4. Jika x = 0 maka 2x=0
5. Suatu segitiga dikatakan
segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya dan ketiga sisinya
sama
Contoh:
Negasi
dari pernyataan di bawah ini adalah:
1.
Ibu memasak di dapur dan Ayah tidak membaca koran
2.
Jika adik dibelikan mainan maka kakak dibelikan sepeda
3.
3x merupakan bilangan genap jika dan hanya jika x bilangan genap
Jawab:
1.
Ibu tidak memasak di dapur atau Ayah membaca koran
2.
Adik dibelikan mainan dan kakak tidak dibelikan sepeda
3. (coba kerjakan sendiri!)
Contoh:
konvers,
invers, dan kontraposisi dari pernyataan "Jika petir menngelegar maka akan
turun hujan deras"
Jawab:
konvers:
jika akan turun hujan deras maka petir menggelegar
Invers:
jika petir tidak menggelegar maka tidak akan turun hujan deras
kontraposisi:
jika tidak turun hujan deras maka petir tidak menggelegar
